• Einzelnachhilfe zu Hause
  • Infratest ABACUS-Nachhilfe Gut 1,8
Menü
PLZ wechseln

Ihr ABACUS-Nachhilfeinstitut

Institut Städteregion Aachen

Silvia und Harald Sturm

Ihre Ansprechpartner

Silvia und Harald Sturm

Ich freue mich auf Ihren Anruf

0241 / 4011080

Mathe Erste Hilfe

Natürliche und ganze Zahlen


Zu den natürlichen Zahlen gehört alles, was ich abzählen kann (wie z.B. das Alter): 1, 2, 3, 4, 5,...

Wenn ich vor jede dieser Zahlen ein – setze, nennt man sie Minuszahlen: -1, -2, -3, -4, -5,...

Beide Gruppen zusammen, bezeichnet man als ganze Zahlen. Die Mitte beider Zahlengruppen bildet die 0.


… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …


Achtung: Je größer die Zahl vor dem -, desto kleiner ist ihr Wert!

Man kann in beide Richtungen immer weiter zählen, es gibt keine Endzahl!


Beispiel:

Peter hat als Belohnung für gute Noten 10€ von seinen Eltern bekommen.

Gemeinsam fahren sie nach Siegburg ins Kino. Die Karte kostet 10€, also hat Peter nichts mehr übrig, d.h. 0€.

Für 3€ möchte er sich jetzt eine Tüte Popcorn kaufen. Da er jedoch 0€ hat, muss er sich das Geld von seinen Eltern leihen.

Er hat also mehr Geld ausgegeben, als er eigentlich besitzt, macht daher Schulden: Peter hat jetzt -3€.

Jetzt kauft Peter noch eine Cola für 2€, welche er sich erneut von seinen Eltern leiht. Er macht also noch mehr Schulden, hat daher noch weniger Geld, nämlich -5€.


Beispiel:

Ein Reicher kann immer reicher werden, es gibt kein Limit; selbst wenn man schon 1.000.000€ hat, kann man immer noch mehr verdienen.

Ebenso, kann man auch unendlich viele Schulden machen: Peter hat schon -5€, er kann sich trotzdem weiter Geld leihen.



Welche Rechengesetze muss ich beachten?


Es gilt: Klammer-vor-Punkt-vor-Strich!


Beispiel:

(2+3)*4-2= Schritt für Schritt zum Erfolg


  1. Schritt: ich löse, was in der Klammer steht

    2+3=5

    und setze das Ergebnis in die ursprüngliche Aufgabe wieder ein (Klammer fällt weg)

    5*4-2=?

  2. Schritt: die Zahlen rechts und links vom Punk werden multipliziert

    5*4=20

    und setze das Ergebnis in die ursprüngliche Aufgabe wieder ein

    20-2=?

  3. Schritt: ich löse das, was übrig bleibt

    20-2=18

    also: (2+3)*4-2=18





Es gilt: Minus + Minus ergibt Minus

Beispiel: Paul hatte sich bereits 10€ geliehen und leiht sich jetzt nochmal 5€. Zu seinen Schulden kommen noch mehr dazu, sodass er jetzt insgesamt 15€ Schulden hat.

-10+(-5)= -15



Es gilt: Minus * Minus ergibt Plus

-4*(-4)=16



Warum Ihr Kind Probleme beim Umrechnen von Einheiten haben könnte


Mit Auswendiglernen ist es meist nicht getan, oft braucht es mehr, um bestimmte Zusammenhänge zu verstehen.


1cm=10mm

1dm=10cm

1dm=100mm

1m=10dm

1m=100cm Aber wie viel ist jetzt ein cm von einem Meter?

1m=1000mm

1km=1000m


Auch wenn die Bruchrechnung erst später kommt, lässt sich hier bereits eine Verknüpfung herstellen.


1mm=1/10cm

1mm=1/1000m

1cm=1/100m



Und was ist mit Quadraten?

Ein Quadrat mit 1cm Seitenlänge, hat eine Fläche von 1cm².


1cm sind 10mm, also einfach das Ergebnis mit 10 multiplizieren, oder?

(demnach: ein Quadrat mit 1cm Seitenlänge ist 10mm² groß)


So einfach geht das aber nicht!


Wie komme ich denn überhaupt auf das Ergebnis von 1cm²? - Ich multipliziere beide Seitenlängen miteinander; also 1*1=1.

Wenn ich das Ergebnis in mm haben möchte, muss ich also beachten, dass beide Seiten 10mm lang sind: 10*10=100.

Demnach hat unser Quadrat mit der Seitenlänge von 1cm eine Fläche von 100mm².



Dezimalzahl, Bruch und gemischte Zahl, was ist das?


Eine Dezimalzahl beinhaltet immer ein Komma.

Beispiel: etwas kostet 2,50€, also ist die Dezimalzahl 2,5


Ein Bruch zeigt, wie eine Zahl im Verhältnis zu einer anderen steht.

Beispiel: Ich esse 3 von 4 Stücken einer ganzen Pizza, also esse ich ¾


Merke: Dezimalzahlen lassen sich auch als Brüche schreiben!

Beispiel: 76,321=76321/1000; 0,549=549/1000; 6,2=62/10

(Merke: schreibt man eine Prozentzahl als Bruch, ist der Nenner immer 100!: 1%=1/100; 15%=15/100; 80%=80/100)


Achtung: Kommen beide Zahlen im gleichen Verhältnis zueinander vor, ist der Faktor immer 1!

Beispiel: Ich esse 4 von 4 Stücken Pizza, also esse ich eine ganze Pizza, d.h. 4/4=1

Ich teile einen Apfel in 6 Stücke und esse 6 von 6 Stücken, also esse ich einen ganzen Apfel, d.h. 6/6=1


Achtung: 0,5 ist immer die Hälfte, also ½!

Beispiel: Ich teile mein Butterbrot in der Hälfte und reiche eine der beiden Hälften einem Freund. Ich habe jetzt noch 0,5 Butterbrot, oder auch ½ Butterbrot, übrig.


Achtung: Auch eine ganze Zahl lässt sich als Bruch formulieren, im Nenner steht dann immer die 1!

Beispiel: 2=2/1, 4=4/1, 7=7/1


Merke: Der 'Nenner' ist die Zahl unterm Bruchstrich, der 'Zähler' ist die Zahl darüber!

½ 1=Zähler, 2=Nenner


Eine gemischte Zahl lässt sich dann bilden, wenn die Zahl im Zähler größer ist, als die Zahl im Nenner.

Beispiel: 18/8 = 2 2/8 Die 8 passt zweimal in die 18. Da 8/8=1 gilt, sind 16/8=2. Es bleiben 2/8 übrig. D.h. Wir haben eine gemischte Zahl aus der ganzen Zahl 2 und dem Bruch 2/8.


Merke: Brüche lassen sich kürzen!

Beispiel: Ich teile einen Kuchen in 8 Stücke und nehme mir davon 4, also 4/8. Jetzt habe ich insgesamt einen einen halben Kuchen genommen. Daher gilt: 4/8=1/2!

Ich mache nichts anderes, als Nenner und Zähler durch 4 zu teilen. So kann ich auch andere Brüche kürzen: 16/2=8, 50/250=1/5

(Nenner und Zähler mit einer Zahl multiplizieren nennt sich einen Bruch erweitern!)



Wie geht Bruchrechnung?


Multiplikation: Nenner*Nenner und Zähler*Zähler

Beispiel: 5/6*3/4= 5*3/6*4=15/24


Division: mit dem Kehrwert multiplizieren

Was ist ein Kehrwert? - Der Kehrwert lässt sich bilden, indem man einfach beide zahlen vertauscht.

Beispiel: 7/8 → Kehrwert 8/7

Zwei Brüche lassen sich dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

Beispiel: 4/5 / 3/7=4/5*7/3=4*7/5*3=28/15

Achtung: Immer den Kehrwert des zweiten Bruchs nehmen; nimmt man den Kehrwert des ersten Bruchs, stimmt das Ergebnis nicht!

Beispiel: 4/5 / 3/7= 5/4*3/7=5*3/4*7=15/28



Addition und Subtraktion: gemeinsamer Nenner

Beispiel: 5/8+1/4=?


Schritt für Schritt zum Erfolg.

  1. Schritt: gemeinsamer Nenner von 8 und 4?

    4 passt 2 mal in die 8, d.h. ich muss entweder Nenner und Zähler des einen Bruchs mit 2 multiplizieren oder durch 2 teilen.

    Da 5 eine ungerade Zahl ist und sich daher nicht glatt durch 2 teilen lässt, multipliziere ich Nenner und Zähler von ¼ mit 2: 1/4*2/2=2/8

    → 5/8+1/4=5/8+2/8=?

  2. Schritt: Nenner bleibt gleich, Zahlen im Zähler werden addiert

    (5+2)/8=7/8

    → 5/8+1/4=5/8+2/8=(5+2)/8=7/8


Beispiel: 2/5-4/9=?

  1. Schritt: gemeinsamer Nenner von 5 und 9?

    5 und 9 lassen sich nicht miteinander in Verbindung bringen, was nun?

    Ich multipliziere Nenner und Zähler des Bruchs mit der 9 im Nenner einfach mit 5 und umgekehrt: 2/5*9/9=18/45 und 4/9*5/5=20/45

    → 2/5-4/9=18/45-20/450=?

  2. Schritt: Nenner bleibt gleich, Zahlen im Zähler werden subtrahiert

    (18-20)/45=-2/45

    → 2/5-4/9=18/45-20/45=-2/45


 

Warum Ihr Kind Probleme beim Lösen von Textaufgaben haben könnte


Wer kennt diese Aussage nicht: 'Eigentlich habe ich alles verstanden, aber bei Textaufgaben weiß ich nie, was ich machen soll!'?

Oftmals ist die Lösung einer Textaufgabe in wenigen Schritten und durch Anwenden von grundlegenden Regeln schon erfasst. Viele Kinder scheitern jedoch an der komplexen und oftmals kompliziert gestellten Aufgabenstellung und lassen sich dadurch entmutigen.

'Was will der Lehrer eigentlich von mir?'

Genau das gilt es erst zunächst herauszufinden. Meist führen einen die Textaufgaben in die Irre, sodass am Ende zwar ein Ergebnis gefunden wird, dieses aber nicht die gestellte Frage beantwortet.


Beispiel: Eine Doppelstunde in der Schule dauert 90 Minuten. Demnach müsste der Lehrer in einer Klasse mit 30 Kindern also 3 Minuten Zeit für jedes einzelne Kind haben, oder? Zu Beginn der Stunde dauert es meist 10 Minuten, bis die Kinder zur Ruhe gekommen sind. Vor der letzten Klassenarbeit hat der Lehrer sich intensiv mit Paul und Peter beschäftigt, da beide Schwierigkeiten in dem Fach haben. Es blieben am Ende noch 15 Minuten, um letzte Fragen zu beantworten.


Also... Es dauert 10 Minuten, bis Ruhe einkehrt, daher sind von den 90 Minuten nur noch 80 übrig. Zudem hat der Lehrer ja so lange mit Paul und Peter geübt, daher sind jetzt nur noch 15 Minuten übrig. 15/30=0,5 Also muss die Antwort ja sein, dass der Lehrer im Schnitt noch 0,5 Minuten Zeit für jedes Kind hat. Ist doch ganz klar, oder?


Achtung: Ein wichtiges Stichwort wurde hierbei aber übersehen! - Demnach.

Eigentlich soll nur die Frage beantwortet werden, ob der Lehrer bei einer Klassengröße von 30 Schülern und einer Stundenlänge von 90 Minuten 3 Minuten Zeit für jedes Kind hat.


  1. Tipp: Aufgabenstellung genau lesen; was soll eigentlich herausgefunden und auf welche Frage soll eine Antwort gefunden werden?


Manchmal hilft es auch, wenn man die Aufgabenstellung mehrmals liest. Es hilft, hierbei schon zu wissen, was eigentlich genau beantwortet und herausgefunden werden soll. Alles, was für die Beantwortung der Frage wichtig ist, kann jetzt markiert werden. Hierzu zählen vor allem die Zahlen und Formeln, die man zur Berechnung braucht. Alles, was nicht zur Beantwortung der Frage beiträgt, kann ignoriert werden.


Beispiel: Auf dem Siegtal-Gymnasium Eitorf sind derzeit 4 Klassen der Jahrgangsstufe 5: die 5a, 5b, 5c und 5d. Paul ist Klassenbester der 5a, bei Klassenarbeiten hatte er immer die beste Note. Er fährt jeden Morgen mit dem Fahrrad zur Schule. Sein Schulweg ist 4km lang und zu Anfang muss er einen Berg mit 10% Steigung hochfahren. Insgesamt muss er 1/3 seines Schulweges diesen Berg hoch. Normalerweise braucht er für den gesamten Weg 15 Minuten.

Zur letzten Klassenarbeit kam er zu spät, da es geregnet und er dadurch 10 Minuten länger gebraucht hat. Die Klassenarbeit hatte insgesamt einen Schnitt von 3,2. In der 5b war der Schnitt besser, nämlich 2,8. Paul hat in der Arbeit nur eine 2 bekommen. Insgesamt gab es 3 Vieren. Die Klasse hat 28 Schüler. Jana und Nina hatten beide eine 3, Lisa nur eine 4. Lisa fährt normalerweise mit Paul zusammen zur Schule, ist aber vor der letzten Arbeit schon 15 Minuten früher losgefahren. Wie lang ist der Berg, den sie hochfahren musste, um zur Schule zu kommen?


Zum Rechnen brauche ich Zahlen, also müssen alle Aussagen, in denen eine Zahl vorkommt auch wichtig sein, oder?

4 Klassen; Jahrgangsstufe 5; 5a,5b,5c,5d; 4km langer Schulweg; Berg mit 10% Steigung; 1/3 des Schulweges ist dieser Berg; 15 Minuten; 10 Minuten länger beim letzten Mal; Schnitt von 3,2 in der Klassenarbeit; 2,8er Schnitt in der 5b; 2 in der Arbeit für Paul; 3 Vieren insgesamt; 28 Schüler; Jana und Nina Note 3; Lisa Note 4; Lisa 15 Minuten früher losgefahren

Ja und wie lang ist jetzt dieser Berg?


Achtung: markiere nur das zur Beantwortung der Frage Wichtige und ignoriere den Rest!

4km langer Schulweg; 1/3 des Schulweges ist Berg


  1. Tipp: nicht alle Zahlen sind für die Bearbeitung der Aufgabe wichtig, suche gezielt welche heraus


Behält man sich beide Tipps im Hinterkopf, liegt der Rechenweg schon fast auf der Hand und zur Lösung ist es nur noch ein Katzensprung.


Das Wichtigste zum erfolgreichen Lösen von Textaufgaben ist es jedoch, die Ruhe zu bewahren und nicht von Anfang an schon aufzugeben.

Die richtige Aussage sollte also lauten: 'Eigentlich habe ich alles verstanden, also kann ich auch Textaufgaben lösen!'



Wie geht Prozentrechnung?


Merke: G*P=W; W/G=P; W/P=G dabei gilt: G=Grundwert; P=Prozentsatz, W=Prozentwert !


Und was bedeutet das jetzt?

Der Prozentsatz ist immer der Wert, welcher in Prozent angegeben ist (z.B. 60% von 27€; 60% ist der Prozentsatz).

Achtung: Ein Prozentsatz kann auch als Bruch angegeben sein (z.B. 2/3=0,75=75%)

Der Grundwert ist immer der Ausgangswert, von dem z.B. ein Anteil in Prozent berechnet werden soll (z.B. 10% von 40€; 40€ ist der Grundwert).

Der Prozentwert ist der Anteil, welcher vom Grundwert abgeleitet wurde (z.B. 30% von 100€ = 30€; 30€ ist der Prozentwert).


Beispiel: In der Städteregion Aachen beziehen 60 Familien Nachhilfe für ihre Kinder. In 70% der Fälle handelt es sich um Einzelnachhilfe beim Schüler zu Hause. Bei 36 dieser Kinder läuft die Nachhilfe über ABACUS. Wie viele Kinder erhalten Einzelnachhilfe zu Hause? Bei wie viel Prozent dieser Kinder läuft die Nachhilfe über ABACUS?

Schritt für Schritt zum Erfolg:

  1. Schritt: Aufgabenteile erkennen

    2 Aufgabenteile: Anzahl der Kinder mit Einzelnachhilfe zu Hause; Prozent der Kinder mit Nachhilfe über ABACUS

  2. Schritt: Zahlen zuordnen und in Formeln einsetzen

    Teil 1: 60=Grundwert; 70%=Prozentsatz → G*P=W, also 60*70%=W

    Teil 2: Lösung Teil 1=Grundwert; 36=Prozentwert → W/G=P, also 36/Lösung Teil 1=P

    Achtung: 60 kann bei Teil 2 nicht als Grundwert genommen werden, da man von der Anzahl der Schüler ausgehen muss, die Einzelnachhilfe zu Hause beziehen und nicht von denen, die insgesamt Nachhilfe beziehen! - Stichwort: 'dieser Kinder'

  3. Schritt: Aufgabe lösen

    60*70%=60*70/100=0,6*70=42; 36/42=6/7ungefähr0,8571ungefähr86%

 

 

Wie funktioniert der Dreisatz?


Beispiel: 90 Minuten Nachhilfe bei ABACUS kosten 63€. Wie viel kosten 35 Minuten?


Um von 90 Minuten auf 35 Minuten zu kommen, muss ich erst einmal wissen, wie viel eine Minute Nachhilfe kostet. Hierzu wende ich den Dreisatz an.


90 Minuten=63€ 63€/90=0,7€ →

90Minuten/90 → 1 Minute=0,7€ 0,7*35=24,5€ →

1Minute*35 → 35Minuten=24,5€



Lineare Zuordnungen – Geradengleichungen

Eine Gerade hat allgemeine Form y=m*x+n oder g(x)=m*x+n

dabei gilt: m=Steigung (anders ausgedrückt: Höhengewinn durch Rechtsfortschritt); n=Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse



Terme umformen, vereinfachen und sortieren


-6z*2+5x+2*(5-2y)+3x=geht das auch noch einfacher?


Kann ich vielleicht etwas zusammenfassen?

Beim näheren Hinsehen kann ich erkennen, dass ich einmal 3x und einmal 5x habe, also insgesamt 8x. Zudem habe ich ja noch 2 Mal die -6z, also insgesamt -12z.

Und was mache ich jetzt mit der Klammer?

Hier wende ich das sogenannte Distributivgesetz an: 2*(5-2y)=2*5+2*(-2y)=10-4y


-6z*2+5x+2*(5-2y)+3x=-12z+8x+10-4y Sieht doch schon viel besser aus, oder?


Ein letzter Schritt fehlt aber noch: Ich sortiere den Term nach Alphabet.

→ 8x-4y-12z+10

(Exponenten, also z.B. x² oder x³, kommen nach vorne, ganze Zahlen nach hinten)



Was sind Gleichungen?


Was genau kann man eigentlich unter dem Begriff 'Gleichung' verstehen und wozu braucht man sie überhaupt?


Du kannst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstelle, deren Last auf beiden Seiten das gleiche Gewicht hat; 3000g = 3kg, 1 Apfel = 200g, 2x = 4y.


In der Mathematik kann eine Gleichung entstehen, wenn es z.B. darum geht, den Schnittpunkt von zwei Geraden herauszufinden (ohne Ablesen innerhalb einer Grafik).


Innerhalb einer Gleichung gibt es immer mindestens eine Unbekannte: 2x = 5 → x als Unbekannte, da wir den Wert für x nicht kennen. Die Gleichung lösen bedeutet, den Wert für x zu ermitteln.


Achtung: Eine Gleichung kann entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben!


Beispiel: a) 4x+2 = 10 / -2 b) 4x+2 = 2*(3+2x) c) (2x+14):2-x = 7

4x = 8 / :4 4x+2 = 6+4x / -2 x+7-x = 7

x = 2 4x = 4+4x / -4x 7 = 7 (immer richtig,

0 = 4 F unabhängig von x)

L={2} L={ } L={Q}


Merke: Innerhalb einer Gleichung darf auf beiden Seiten (vom =-Zeichen) die gleiche Rechenoperation ausgeführt werden. Die Rechenoperation wird rechts neben die Gleichung geschrieben und durch ein / abgetrennt (in Beispiel a werden als Erstes auf beiden Seiten 2 abgezogen; / -2). Die neue Gleichung, also das Ergebnis, wird eine Zeile unter die Ausgangsgleichung geschrieben. Manche Gleichungen lassen sich durch Vereinfachen lösen, es werden keine Rechenoperationen angewandt (Beispiel c). Das Ergebnis wird zum Schluss noch einmal in Klammern aufgeschrieben: L={2} = genau eine Lösung, L={ } = keine Lösung, L={Q} = unendlich viele Lösungen.



Wie löse ich Gleichungssysteme?


Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten lassen sich nicht mehr einfach so lösen:

3x+2 = y → Wert für x?, Wert für y?


Wir nehmen uns eine zweite Gleichung zur Hilfe und erstellen ein Gleichungssystem. Gleichungssysteme lassen sich anschließend auf 3 unterschiedliche Arten, abhängig von den Gleichungen, lösen.


Das Einsetzungsverfahren


Beispiel 1: I) 3x+2 = y

        1. 2x-y = 5

1. Schritt: Gleichung I) in Gleichung II) einsetzen:


II) 2x-(3x+2) = 5 (Da die erste Gleichung besagt, dass 3x+2 den Gleichen Wert hat wie unsere unbekannte y, können wir damit das y in der zweiten Gleichung austauschen, d.h. Die erste Gleichung in die zweite einsetzen. Daraus ergibt sich eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten; x. Der eingesetzte Wert wird zunächst in Klammern geschrieben.)


    2. Schritt: Gleichung lösen

  1. 2x-(3x+2) = 5

    2x-3x+2 = 5

    -x+2 = 5 / +2

    -x = 7 / *(-1)

    x = -7


  1. Schritt: den Wert für x in Gleichung I) einsetzen, um den Wert für y zu ermitteln


  1. 3*(-7)+2 = y

    y = -19


  1. Schritt: Lösung notieren

    L={(-7/-19)}

Merke: Es lässt sich auch das x einer Gleichung durch Einsetzen einer anderen Gleichung austauschen.

Es ist auch möglich, dass man Gleichung II) in Gleichung I) einsetzt.

( I) 3x+4y = 13 und II) x = 2y+1 )



Achtung: Manchmal muss man eine Gleichung zuerst nach x oder y auflösen, also die Gleichung so umformen, dass eine Unbekannte allein auf einer Seite des =-Zeichens steht, um dann das Einsetzungsverfahren anzuwenden!


Beispiel: I) 7x+2y = -8

II) 5y-x = 17 /-17

-----------------

          1. 7x+2y = -8

          2. 5y-x-17=0 / +x

--------------------------------

          1. 7x+2y = -8

          2. 5y-17 = x

---------------------------------

          1. in I)

          1. 7*(5y-17)+2y = -8 …

(Die einzelnen Aktionen werden durch einen Strich unterhalb der Gleichungen voneinander getrennt. Verändert man nur eine Gleichung, wird die andere Gleichung unverändert mit in die nächste Zeile übernommen)


Das Additionsverfahren



Beispiel 1: I) 3x+2y = 5

        1. 2x-2y = 4

--------------------

I)+II) 5x = 9 / :5

x = 9/5

Da in Gleichung I) ein + vor einer der Unbekannten steht, in dem Fall dem y, und in Gleichung II) vor der gleichen Unbekannten ein -, können wir das Additionsverfahren anwenden.

Wir addieren beide Gleichungen, d.h. fassen alle Werte als eine einzige Gleichung zusammen. Durch die gegensätzlichen Vorzeichen fällt das y gänzlich weg (nur möglich, da in beiden Gleichungen die gleiche Anzahl der Unbekannten enthalten ist, nämlich 2) und wir haben nur noch eine Unbekannte.

Durch Lösen der neu entstandenen Gleichung erhalten wir den Wert für x.


Im nächsten Schritt setzen wir den Wert für x in eine der beiden Gleichungen ein und erhalten damit den Wert für y (siehe Schritt 3 im Einsetzungsverfahren). Anschließend notieren wir die Lösung (siehe Schritt 4 im Einsetzungsverfahren).



Beispiel 2: I) 4x-y = 3

        1. 3x+2y = 5


  1. Schritt: die Unbekannten mit dem gegensätzlichen Vorzeichen auf einen 'gemeinsamen Nenner' bringen


In diesem Fall hat die Unbekannte y in beiden Gleichungen zwar ein gegensätzliches Vorzeichen, tritt aber in Unterschiedlicher Häufigkeit auf (Gleichung I) enthält 1y und Gleichung II) enthält 2y).

Um das Additionsverfahren so anwenden zu können, dass das y wegfällt, muss ich nun eine der beiden Gleichungen so umformen, dass y in beiden Gleichungen gleich oft vorkommt.


  1. 4x-y = 3 / *2

  2. 3x+2y = 5

------------------------------- 'GN'=2

  1. 8x-2y = 6

  2. 3x+2y = 5


  1. Schritt: Gleichungen addieren


I)+II) 11x = 11


  1. Schritt: Gleichung lösen

I)+II) 11x = 11 / :11

x = 1


  1. Schritt: Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen

3*1+2y = 5 / -3

2y = 2 / :2

y = 1


  1. Schritt: Lösung notieren

L={(1/1)}



Das Gleichsetzungsverfahren


Beispiel: I) 3x+2y = -19

      1. 3x+5y = -43

Betrachtet man die Gleichungen, so kann man erkennen, dass die Unbekannte x in beiden Gleichungen die gleiche Häufigkeit und das gleiche Vorzeichen besitzen. In diesem Fall lässt sich das Gleichsetzungsverfahren anwenden.


  1. Schritt: Gleichungen umformen

    I) 3x+2y = -19 / -2y

    II) 3x+5y = -43 / -5y

---------------------------- Die Gleichungen werden so umgeformt, dass 3x jeweils alleine

      1. 3x = -2y-19 auf einer Seite stehen.

      2. 3x = -5y-43


  1. Schritt: Gleichungen gleichsetzen

    I)=II) -2y-19 = -5y-43

Da durch Umformen der Gleichungen auf der linken Seite jeweils das Gleiche steht, lässt sich die rechte Seite beider Gleichungen ebenfalls gleichsetzen; es entsteht eine neue Gleichung mit nur einer Unbekannten.

(Du kannst die das wie auf einer Waage vorstellen:

Gleichung I) besagt, dass 3x so schwer sind wie -2y-19 und Gleichung 2 besagt, dass 3x aber auch so schwer sind wie -5y-43. Demnach müssen -2y-19 genauso schwer sein wie -5y-43. Man kann also sagen: -2y-19 = -5y-43)


  1. Schritt: Gleichung lösen

    I)+II) -2y-19 = -5y-43 / +19

        -2y = -5y-24 / +5y

        3y = -24 / :3

        y = -8


  1. Schritt: den Wert für y in eine der beiden Gleichungen einsetzen

    3x+2*(-8) = -19

    3x-16 = -19 / +16

    3x = -3 / :3

    x = -1


  1. Schritt: Lösung notieren

    L={(-1/-8)}



Das kleine Wurzel-Ein-Mal-Eins


Wir kennen ja bereits Quadratzahlen, wie z.B. 2² oder 5².

Quadratzahlen entstehen, indem man eine Zahl mit sich selbst multipliziert:

2*2=4 oder 2*2=2², 5*5=25 oder 5*5=5²


Und was ist jetzt eine Wurzel?

Die Wurzel ist eine Umkehrrechnung. So wie man aus 2 Mal 2 gleich 4 berechnen kann, so kann man auch aus der 4 wieder auf die 2 kommen. Hierzu zieht man die Wurzel.

Wurzel aus 4 = 2 weil 2*2=4

Wurzel aus 25 = 5 weil 5*5=25



Tipp: manche Wurzeln solltest du auswendig lernen!

Wurzel aus 1, Wurzel aus 4, Wurzel aus 9, Wurzel aus 16, Wurzel aus 25, Wurzel aus 36, Wurzel aus 49, Wurzel aus 64, Wurzel aus 81, Wurzel aus 100, Wurzel aus 121, Wurzel aus 144, Wurzel aus 169, Wurzel aus 196, Wurzel aus 225

(1*1=1, 2*2 =4, 3*3=9 … 13*13=169, 14*14=196, 15*15=225) oder (1²=1, 2²=4, 3²=9 … 13²=169, 14²=196, 15²=225)


Merke: eine Wurzel hat immer 2 Lösungen!

Wurzel aus 25 = 5 weil 5*5=25 und Wurzel aus 25 = -5 weil -5*(-5)=25

Tipp: Manchmal ergibt nur eine Lösung Sinn (Seitenlänge eines Quadrats mit A=9³ → -3 ergibt keinen Sinn, daher musst du nur eine Lösung nennen!)


Merke: Man kann aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen!

Wurzel aus -25 ist nicht lösbar

- Wurzel aus 25= - (Wurzel aus 25) =-(5) = -5 das geht


Merke: Quadriert man die Wurzel einer Zahl, so erhält man als Ergebnis die Zahl selbst!

Wurzel aus 25² = 25 , genauso gilt: Wurzen² aus 25 = 25



Merke: Es gibt verschiedene Rechenregeln, welche man auf Wurzeln anwenden kann!


  1. Produkte von Wurzeln

Wurzel aus 5 * Wurzel aus 20 = Wurzel aus 5*20 = Wurzel aus 100 = 10

(Wurzeln zusammenfassen → Wurzel ausrechnen → Wurzel ziehen)


  1. Quotienten von Wurzeln

Wurzel aus 20 / Wurzel aus 5 = Wurzel aus  20/5 = Wurzel aus 4 = 2

(Wurzel als Bruch zusammenfassen → Bruch ausrechnen → Wurzel ziehen)


  1. Teilweises Wurzelziehen

Wurzel aus 32 = Wurzel aus 16*2 = Wurzel aus 16 * Wurzel aus 2 = 4* Wurzel aus 2

(Wurzel zerlegen → Wurzel teilen → eine der beiden Wurzeln ziehen)


  1. Ausklammern

7* Wurzel aus 3 + 3* Wurzel aus 3 = (7+3)* Wurzel aus 3 = 10* Wurzel aus 3

(normale Zahlen ausklammern, die Wurzeln zusammentun und ausrechnen → Klammer ausrechnen)


  1. Ausmultiplizieren

 Wurzel aus 3 *( Wurzel aus 27 - Wurzel aus 12) = Wurzel aus 3 * Wurzel aus 27 - Wurzel aus 3 * Wurzel aus 12 = Wurzel aus 81 - Wurzel aus 36 = 9-6 = 3

(Klammer auflösen → Wurzeln zusammenfassen und ausrechnen → Wurzeln ziehen → ausrechnen)



Merke: Es gibt nicht nur die normale Wurzel (auch zweite Wurzel oder Quadratwurzel genannt), sondern man kann aus einer zahl eine beliebige Wurzel ziehen!

Die beliebige Wurzel wird n-te Wurzel genannt (nWurzel); man kann für n eine beliebige Zahl einsetzen.


Beispiel: 3Wurzel aus 512 = 8 weil 8*8*8=512 → aus der 512 wird die dritte Wurzel (Kubikwurzel) gezogen



Wie lauten die binomischen Formeln?


Binomische Formeln werden dann angewandt, wenn man Terme miteinander multipliziert, welche nur aus zwei Komponenten bestehen (z.B. a+b oder a-b, aber auch x+3 oder y-2).


  1. binomische Formel

    (a+b)² = a²+2ab+b²

man rechnet: (a+b)² = (a+b)*(a+b) = a*a+b*b+b*a+b*b = a²+2ab+b²

(beide Variablen der ersten Klammer werden jeweils mit beiden Variablen der zweiten Klammer Multipliziert)


  1. binomische Formel

    (a-b)² = a²-2ab+b²

man rechnet: (a-b)² = (a-b)*(a-b) = a*a+a*(-b)+(-b)*a+(-b)*(-b) = a² -2ab+b²


  1. binomische Formel

    (a+b)*(a-b) = a²-b²

man rechnet: (a+b)*(a-b) = a*a+a*(-b)+b*a+b*(-b) = a²-b²


Merke: man kann binomische Formeln auch umgekehrt anwenden!

Beispiel: x²-6x+9 = (x-3)² weil (x-3)² = (x-3)*(x-3) = x*x+x*(-3)+(-3)*x+(-3)*(-3) = x²-6x+9


 

Was ist Kombinatorik und wie funktioniert sie?


Durch bestimmte Formeln, lässt sich gezielt berechnen, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es in einer bestimmten Situation geben kann.


Beispiel 1: In einer Urne befinden sich 6 schwarze Kugeln und 8 weiße Kugeln. Es wird 3 Mal mit Zurücklegen gezogen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es?


Wie soll ich das lösen, alle Möglichkeiten aufschreiben und dann abzählen?

Also... Es kann zuerst eine weiße Kugel gezogen werden, dann eine schwarze, dann wieder eine weiße usw.; es kann zuerst eine schwarze Kugel gezogen werden, dann 2 weiße; es kann...


Um dir die ganze Arbeit zu ersparen, kannst du auch einfach die Formel n(hoch)k anwenden.

Dabei ist n = die Anzahl der Kugeln und k = die Anzahl der Durchführungen


in diesem Fall: n = 14; k = 3 also 14(hoch)3 = 2744


Gut, dass du nicht gezählt hast, oder?


Und was mache ich, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird? Sobald eine Kugel aus der Urne gezogen wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten entlang des Diagramms, daher kann ich auch nicht mehr die gleiche Formel benutzen.


Beispiel 2: In einer Urne befinden sich 3 weiße Kugeln und 4 schwarze Kugeln. Es wird 3 Mal ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es?


Hierzu verwende ich die Formel n*(n-1)*(n-2)*(n-3)... ← k-Mal

Dabei gilt wieder n = Anzahl der Kugeln und k = Anzahl der Durchführungen


in diesem Fall: n = 7; k = 3 also 7*(7-1)*(7-2)*(7-3) = 7*6*5*4 = 840


Achtung: In beiden Beispielen ist der Fall gesetzt, dass die Reihenfolge beachtet wird. Wird ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, wird der Binominalkoeffizient 'n über k' angewandt (Nutze hierzu deinen Taschenrechner!)! Es gilt wieder n = Anzahl der Kugeln und k = Anzahl der Durchführungen

 

 

Quadratische Funktionen

Wir kennen ja bereits die Funktion einer linearen Gleichung: y=m*x+b.

Die Funktion einer linearen Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung m und dem Schnittpunkt mit der y-Achse b. Jedem y kann genau ein x zugeordnet werden.

Nun lernen wir die Gleichung einer quadratischen Funktion kennen. Eine quadratische Funktion beschreibt immer eine Parabel; jede Parabel hat einen Scheitelpunkt. Jedem y können 2 Werte für x zugeordnet werden. Generell können quadratische Funktionen in zwei verschiedenen Formen auftauchen; in der Normalform und der Scheitelpunktsform. Die Normalform enthält immer ein x² : x²+px+q=0. Die Scheitelpunktsform enthält den Scheitelpunkt der Parabel: f(x)=(x-d)²+e → S(d/e).


Möchte man aus der Normalform den Scheitelpunkt herausfinden oder den Term der Normalform in einen Term der Scheitelpunktsform umwandeln kann man nach zwei Verfahren vorgehen; der quadratischen Ergänzung und dem Verschiebungsverfahren.


  1. Die Quadratische Ergänzung

Beispiel: f(x)= x²+10x+5

= x²+10x+5²-5²+5 → Der Term wird so ergänzt, dass man ihn zu einer binomischen Formel zusammenfassen kann. Dabei muss man beachten, dass man das, was man ergänzt, auch wieder abzieht, da man den Term nicht verändern darf. ( hier: 5² wird ergänzt und wieder abgezogen → binomische Formel: x²+10x+5²)

= (x+5)²-25+5 → man bildet die binomische Formel (hier: x²+10x+5² = (x+5)² )

= (x+5)²-20

S(-5/-20) → Scheitelpunkt ablesen: Scheitelpunktsform f(x)=(x-d)²+e → S(d/e) (hier: f(x)=(x-d)²+e → S(-5/-20) )


allgemein: f(x)= ax²+bx+c

= x²+bx+(b/2)²-(b/2)²+c

= (x+b/2)²-b²/4+c → beachte: (b/2)² = b²/4

S(-b/2 / -b²/4+c)


Achtung: Steht vor dem x² noch eine Zahl, muss diese erst ausgeklammert werden!

Beispiel: f(x)= 5x²+10x+5

= 5*(x²+2x+1) → die 5 vor dem x² wurde ausgeklammert

= 5*(x²+2x+1²-1²+1)

= 5*((x²+1)²-1²+1)

= 5*((x²+1)²)

S(-1/0)



  1. Das Verschiebungsverfahren

Beispiel: f(x)= x²+4x+2

h(x)= x²+4x → Der Term f(x) wird in den Term h(x) umgewandelt, indem man die hinterste Zahl weglässt. Das bezweckt, dass sich die Parabel im Koordinatensystem so verschiebt, dass sie durch den Punkt (0/0) verläuft.

h(x)= 0 → nun kann man den Term h(x) mit 0 gleichsetzen uns x ausklammern

= x²+4x=0

= x(x+4)=0

x1= 0 ; x2= -4 → Für x1 und x2 setzt man dann Zahlen ein, die den Term 0 ergeben lassen (x1 ist dabei immer 0)

xs= x1+x2/2 = 0+(-4)/2 = -2 → Indem man x1 und x2 addiert und anschließend durch 2 teilt, erhält man die x-Koordinate des Scheitelpunkts.

f(-2)= (-2)²+4*(-2)+2 → Um die y-Koordinate herauszubekommen, setzt man den Wert für x in den ursprünglichen Term f(x) ein.

= 4-8+2

= -2

S(-2/-2) → SF: f(x)= (x+2)²-2 → nun hat man den Scheitelpunkt bestimmt und kann beide Werte in die Scheitelpunktsform f(x)= a*(x-d)²+e einsetzen



Achtung: Steht vor dem x² eine Zahl muss diese erst ausgeklammert werden, bevor man x ausklammert!



Die pq-Formel

Um quadratische Funktionen der Form x²+px+q=0 zu lösen (den Wert für x herausfinden) kann man eine Lösungsformel, die pq-Formel, anwenden.

 

pq-Formel: x1/2= -p/2 +/- Wurzel aus (p/2)²-q


Beispiel: x²+8x+4=0

Id: p=8 ; q=4 → Identifikation: aus dem Term die Werte für p und q ermitteln

 

x1/2= -8/2 +/- Wurzel aus (8/2)²-4 → Werte für p und q in die pq-Formel einsetzen

= -4 +/- Wurzel aus 16-4

x1= -4 + Wurzel aus 12

x2= -4 – Wurzel aus 12

L{-4+Wurzel aus 12 ; -4-Wurzel aus 12} → es ergeben sich immer zwei Lösungen


Achtung: Steht vor dem x² noch eine Zahl, z.B. eine 2, muss die gesamte Gleichung durch diese Zahl geteilt werden!

Beispiel: 2x²+8x+4=0

= x²+4x+2=0 → die gesamte Gleichung wurde durch 2 geteilt

Id: p=4 ; q=2


x1/2= -4/2 +/- Wurzel aus (4/2)²-2

= -2 +/- Wurzel aus 4-2

x1= -2 + Wurzel aus 2

x2= -2 – Wurzel aus 2

L{-2+Wurzel aus 2 ; -2-Wurzel aus 2}



Wie stelle ich aus gegebenen Punkten der Term der dazugehörigen quadratischen Funktion auf?

  1. Drei Punkte sind gegeben

Sofern man 3 Punkte gegeben hat, zu denen man die dazugehörige Funktion aufstellen soll, löst man das am Besten mit einem linearen Gleichungssystem. Als Ansatz wählt man hier die Normalform.


Beispiel: A(0/1) ; B(-2/11) ; C(2/-1)

Ansatz: f(x)= ax²+bx+c

A → f(0)=1 a*0²+b*0+c=1 → Man setzt den Punkt A in den Term für die Normalform ein. Da der Punkt als x-Koordinate eine 0 enthält, kann man sogleich den Wert für die Unbekannte c ermitteln. (Es ist daher immer sinnvoll, den Punkt als Erstes einzusetzen, welcher zumindest einen Wert 0 enthält)

c=1


Z.E.: f(x)= ax²+bx+1 → Setzt man nun den Wert für c in die Normalform ein, erhält man einen Term als Zwischenergebnis, welcher nun als Ansatz zur weiteren Berechnung genommen wird.


B → f(-2)=11 a*(-2)²+b*(-2)+1=11

4a-2b+1=11 / -1

4a-2b=10 → Der Punkt B wird ins Z.E. eingesetzt und der Term anschließend vereinfacht


C → f(2)=-1 a*2²+b*2+1=-1

4a-2b+1= -1 / +1

4a+2b=0 → Der Punkt C wird in Z.E. eingesetzt und der Term anschließend vereinfacht


  1. 4a-2b=10

  2. 4a*2b=0

--------------------------

I)+II) 8a=10 / :8

a=5/4 → Gleichungssystem aufstellen und mit einem geeigneten Verfahren lösen (hier: Additionsverfahren)

--------------------------

Wert für a in II) einsetzen:

4*5/4+2b=0

5+2b=0 / -5

2b=-5 / :2

b=-5/2


L{5/4 / -5/2)

f(x)= 5/4x²-5/2x+1 → Werte für a, b und c in den Term der Normalform einsetzen



  1. Ein Punkt und der Scheitelpunkt sind gegeben

Sofern man den Scheitelpunkt und mindestens einen weiteren Punkt gegeben hat, zu denen man die dazugehörige Funktion aufstellen soll, löst man das ganze über die Scheitelpunktsform.


A(0/4) ; SP: S:(2/6)

Ansatz: f(x)= a*(x-d)²+e


S → f(x)= a*(x-2)²+6 → Den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen


A → f(0)=4 a*(0-2)²+6=4

4a+6=4 / -6

4a=-2 / :4

a=-1/2 → Den Punkt A in den durch Einsetzen des Scheitelpunkts entstandenen Term einsetzen und die so entstehende Gleichung lösen (Wert für a ermitteln)

f(x)= -1/2*(x-2)²+6 → Den Wert für a in die Scheitelpunktsform einsetzen



Vergrößern und Verkleinern von Figuren – Ähnlichkeit

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die Längenverhältnisse einander entsprechender Seiten und einander entsprechende Winkel gleich sind.

a/a' = b/b' = c/c' und alpha = alpha' ; beta=beta' ; gamma=gamma'

Dividiert man jeweils die Länge einer Seite des größeren Dreiecks durch die Länge der entsprechenden Seite im kleineren Dreieck, so erhält man stets den gleichen Quotienten.

Man sagt: Die Längen entsprechender Seiten stehen in einem festen Längenverhältnis zueinander. Dieses Verhältnis heißt Vergrößerungsfaktor.

Vergrößerungsfaktor > 1 = Vergrößerung

Vergrößerungsfaktor < 1 > 0 = Verkleinerung

Zwei Kreise sind stets ähnlich. Der Vergrößerungsfaktor ist das Radienverhältnis R/r.


Beispiel: Ein Dreieck wird so verkleinert, dass der Flächeninhalt A=49cm² auf A'=25cm² sinkt. Mit welchem Faktor verkleinern sich die Seitenlängen?


A/A'=25cm²/49cm²=25/49 → Verkleinerungsfaktor kL=25/49, dabei gilt für A'= 25/49*A


Da die Dreiecke ähnlich sind, müssen auch die Längen in den Dreiecken einen festen Verkleinerungsfaktor kL haben!


Ansatz: A(Dreieck)=G*h*1/2 ; daher gilt: G'=kL*G und h'=kL*h

A'=G'*h/2=(kL*G*kL*h)/2=kL²*(G*h)/2=kL²*A


Kurz: A'=kL²*A und(s.o) A'=25/49*A ; daher gilt: kL²=25/49 und kL=Wurzel aus 25/49 = 5/7


Antwort: Die Seitenlängen verkleinern sich um den Faktor 5/7.


Merke: Unterscheiden sich Flächen ähnlicher Figuren um den Faktor k, so unterscheiden sich die Seitenlängen um den Faktor Wurzel aus k!

 

 

Vorgehensweise bei Min-Max-Aufgaben

Oftmals ist ein bestimmtes Thema in der Theorie verstanden, lässt sich jedoch so einfach nicht mehr praktisch anwenden.

Das kann daran liegen, dass aus der Aufgabenstellung nicht klar hervorgeht, welche Formeln etc. angewandt werden müssen.

Generell gilt: bewahre die Ruhe und lies die Aufgabenstellung genau, gerne auch mehrmals, durch. Versuche als Erstes herauszufinden, was genau von dir gefordert ist und wähle einen geeigneten Rechenansatz (Wenn es z.B. eine Aufgabe ist, in der es um kreisförmige Gegenstände geht, kannst du dir sicher sein, dass du die Formeln zur allgemeinen Berechnung von Kreisen brauchst). Es ist zudem hilfreich, wenn du dir zunächst alle Informationen aufschreibst, welche aus der Aufgabenstellung hervorgehen.

Du musst die gesamte Lösung nicht auf einmal herausbekommen, sondern kannst deine Berechnungen in mehrere Teilschritte unterteilen.


Das folgende Beispiel (Min-Max-Aufgabe) gibt dir einen Überblick, wie du Schritt für Schritt zum Erfolg gelangen kannst:


Beispiel: Theodora möchte eine rechteckige Pferdekoppel einzäunen. Ihr stehen 18m Zaun und eine 4m lange Mauer zur Verfügung. Wie muss Theodora die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große Fläche hat? Berechne die Seitenlängen und den Maximalflächeninhalt.

  1. Schritt: Lesen der Aufgabenstellung, Sammlung der Daten

    gegeben: 18m Zaun & 4m Mauer (also U=18+4)

    gefragt: maximal großes Rechteck

  2. Schritt: Aufstellen einer Funktion (Zielfunktion), die die gesuchte Größe beschreibt. Dazu müssen Variablen vergeben werden.

Zielfunktion: A=a*b

  1. Schritt: Finden einer Bedingung, die die Variablen miteinander verbindet, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Variable abhängig ist.

    Bedingung: a+a+b+b-4=18 (da U=2a+2b → da die Mauer 4m lang ist, können diese 4m von der Funktion für den Umfang abgezogen werden, um die restlichen 18m Zaun auf den Umfang zu verteilen)

          2a+2b-4=18 / +4

          2a+2b=22 / -2b

          2a=-2b+22 / :2

          a=-b+11

  1. Schritt: Einsetzen der umgeformten Bedingung in die Zielfunktion

    A=a*b=(-b+11)*b=-b²+11b

  2. Schritt: Die erhaltene Funktion ist eine quadratische Funktion, deren Scheitelpunkt gesucht ist.

    A= -b²+11b

    = -(b²-11b)

    = -(b²-11b+5,5²-5,5²)

    = -[(b-5,5)²-30,25]

    = -(b-5,5)²+30,25

S(5,5/30,25)

  1. Schritt: Interpretation des Scheitelpunkts im Sachzusammenhang

    Wenn die Seitenlängen 5,5m betragen, ist die Koppel mit 30,25m² maximal groß.

 

Weitere Themen befinden sich hier:

- Rauminhalte und Flächeninhalte

- Kreise und Winkel

- 2- und 3- dimensionale Körper - Formelsammlung

- Wahrscheinlichkeitsrechnung

- Dreiecke

- Satz des Pythagoras

- Trigonometrie

- Strahlensätze

- Bogenmaß

- allgemeine Sinusfunktion

 

 

Hier finden Sie Übungsaufgaben inklusive Musterlösungen zu verschiedenen Themen:

- Rechengesetze und Fachausdrücke

- Bruchrechnung

- Rechnen mit Größen

- Wahrscheinlichkeitsrechnung

- quadratische Funktionen

- Trigonometrie und Strahlensätze

- gemischte Aufgaben

ABACUS NachhilfeMathe Nachhilfe Aachen