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Dreiecke und Trigonometrie

Dreiecke und ihre Bedeutung für die Flächenberechnung

Auch wenn es erst einmal übertrieben scheint, die Flächenberechnung eines Dreiecks in den Mittelpunkt zu stellen, lässt sich auf einen zweiten Blick ganz leicht erkennen warum: Ich kann jedes beliebige Vieleck in beliebig viele Dreiecke aufteilen und somit deren Fläche mithilfe einer einzigen Formel berechnen.

A(Dreieck)=g*h*1/2 (dabei gilt: g=Grundseite, h=Höhe)

 

 

Die Benennung/Beschriftung eines Dreiecks

Ein Dreieck kann man wie folgt benennen/beschriften:

Generell erhalten die jeweils gegenüberliegenden Seiten einer Ecke die Bezeichnung dieser Ecke; Ecke A → gegenüberliegende Seite a, Ecke B → gegenüberliegende Seite b, Ecke C → gegenüberliegende Seite c. Man fängt mit den Bezeichnungen immer in der Ecke links unten an.

(Diese Bezeichnungen gelten für alle Dreiecke!)

Jede Ecke enthält einen Winkel, da jeweils zwei Geraden (in dem Fall zwei Seiten des Dreiecks) aufeinander treffen. Ecke A = Winkel alpha, Ecke B = Winkel beta, Ecke C = Winkel gamma.

 

 

Basiswinkelsatz, Innenwinkelsummensatz und der Satz des Pythagoras

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel (Basiswinkel) immer gleich groß, 60° (Basiswinkelsatz).


Die Winkel innerhalb eines Dreiecks ergeben zusammen immer 180° (Innenwinkelsummensatz).


Bei einem rechtwinkligen Dreieck hat einer der Winkel immer 90° und eine der drei Seiten ist länger als die anderen beiden. Zur Ermittlung der Seitenlängen kann man bei rechtwinkligen Dreiecken des Satz des Pythagoras anwenden.

Satz des Pythagoras: a²+b²=c²

Erklärung: Zeichnet man jeweils ein Quadrat an die beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, so ergeben die Flächeninhalte der beiden Quadrate zusammen den Flächeninhalt des Quadrates, den man an die längste Seite des Dreiecks zeichnen kann.

Merke: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse, die anderen beiden Seiten nennt man Katheten.  --> In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

 

 

Trigonometrie – Sinus, Kosinus & Tangens

Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt: Die längste Seite des Dreiecks ist die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die gegenüberliegende Seite des rechten Winkels. Die Ankathete eines Winkels ist immer die Seite, welche an den entsprechenden Winkel angrenzt. Die Gegenkathete eines Winkels ist immer die Seite, welche dem entsprechenden Winkel gegenüber liegt.

 

 

Ist die Größe eines Winkels oder die Länge einer Seite unbekannt, kann man den fehlenden Wert durch Anwendung von bestimmten Formeln ermitteln:

Sinus eines Winkels: Gegenkathete des Winkels/Hypotenuse

Kosinus eines Winkels: Ankathete des Winkels/Hypotenuse

Tangens eines Winkels: Gegenkathete des Winkels/Ankathete des Winkels


Merke: Der Sinus/Kosinus eines Winkels ergibt ein Seitenverhältnis (reelle Zahl zwischen 0 und 1)!

Die Umkehrung des Sinus/Kosinus (sin hoch-1/cos hoch-1) angewendet auf ein Seitenverhältnis ergibt einen Winkel!



Beispiel 1: Wie groß sind die Winkel beta und gamma? Wie lang ist die Seite c?

 

 (siehe Abbildung Trigonometrie Beispiel)


Wir kennen die Länge der Hypotenuse und die Länge der Ankathete von gamma, bzw. der Gegenkathete von beta, zudem den Winkel alpha.

  1. Schritt: Um den Winkel gamma zu ermitteln, kann man die Umkehrung des Kosinus von gamma anwenden:

cos(gamma)= Ankathete von gamma/Hypotenuse= 1,7/5,5

cos hoch-1(1,5/5,5)= 74,17° (nutze hierzu deinen Taschenrechner!)

(alternativ kann auch die Umkehrung des Sinus von beta angewandt werden, um beta zu ermitteln)

  1. Schritt: Um den Winkel beta zu ermitteln, lässt sich nun der Innenwinkelsummensatz anwenden: Alle Winkel zusammen ergeben 180°, also 180°-90°- Ergebnis Teil 1= Winkel beta also: 180°-90°-74,17°=15,83°

  2. Schritt: Um die Länge der Seite c zu ermitteln, kann man nun den Satz des Pythagoras anwenden:

    a²+b²=c² (in diesem Fall ist c immer die Hypotenuse, also hier die Seite a)

    1,7²+x²=5,5²

    2,89+x²=30,25 /-2,89

    x²=27,36 / Wurzel ziehen

    x=Wurzel aus 27,36= 5,23

Abbildung Dreiecke: rechtwinklig vs. gleichseitigAbbildung TrigonometrieAbbildung Trigonometrie Beispiel